Pojęcie całkowania jakościowego. Układy hamiltonowskie na płaszczyźnie

Kompletne badanie układu dynamicznego polega na znalezieniu rozwiązania analitycznego dla dowolnego dobrze postawionego zagadnienia początkowego. Cel ten, jednak, jest osiągalny dla bardzo niewielkiej rodziny układów liniowych i to zwykle o stałych współczynnikach oraz tylko dla niektórych układów nieliniowych, które udaje się w ten czy inny sposób scałkować, wykorzystując ich szczególną sprzyjającą całkowaniu postać. W teorii jakościowej układów dynamicznych badania układu równań traktuje się nieco inaczej, gdyż główny nacisk w tym podejściu kładzie się na opis rozwiązań chzrakterystycznych dla danego układu. Badania jakościowe układu dynamicznego włączają takie elementy jak odnajdywanie punktów stacjonarnych oraz badanie ich charakteru, czy też badanie istnienia trajektorii okresowych oraz obserwacje zachowania się rozwiązań, przy wartościach argumentu dążących do nieskończoności. Zatem, zamiast próby scałkowania układu, która rzadko kiedy bywa skuteczna, usiłujemy uzyskać informację o charakterze rozwiązań jedynie na podstawie samej postaci układu dynamicznego. Okazuje się że analiza jakościowa jest wyjątkowo skuteczna w sytuacji, gdy układ dynamiczny jest hamiltonowski. Analizie pewnej rodziny układów hamiltonowskich, ważnej z punktu widzenia zastosowań, poświęcony jest w całości niniejszy moduł.

Układy zachowawcze. Badanie jakościowe układu o jednym stopniu swobody.

Układ dynamiczny

(1)

$ \dot x=F(x,\,y), \qquad \dot y=G(x,\,y) $

nazywa się układem hamiltonowskim, jeżeli istnieje różniczkowalna funkcja $ H(x,\,y) $ taka, że zachodzą równości

(2)

$ F(x,\,y)=\frac{\partial\,H}{\partial\,y}, \qquad G(x,\,y)=-\frac{\partial\,H}{\partial\,x}. $

Lemat 1:

Funkcja $ H(x,\,y) $ zachowuje stałą wartość na trajektoriach fazowych (rozwiązaniach) układu hamiltonowskiego.

Dowód Niech funkcje $ x(t),\,\,\,y(t) $ będą rozwiązaniami układu hamiltonowskiego. Wówczas, różniczkując funkcję $ H[x(t),\,\,y(t)] $ względem $ t $, otrzymamy:

(3)

$ \frac{d}{d\,t}H[x(t),\,\,y(t)]=\frac{\partial\,H}{\partial\,x} \,\dot x(t)+\frac{\partial\,H}{\partial\,y} \,\dot y(t) = $

(4)

$ =\frac{\partial\,H}{\partial\,x}\cdot\frac{\partial\,H}{\partial\,y}+\frac{\partial\,H}{\partial\,y}\cdot\left[-\frac{\partial\,H}{\partial\,x}\right]=0. $

Równaniem które można sprowadzić do układu hamiltonowskiego, jest równanie

(5)

$ \ddot x(t)=\phi(x), $

opisujące ruch punktu materialnego o masie jednostkowej w polu sił potencjalnych. Wprowadzając zmienną $ y(t)=\dot x(t) $, równanie to można przedstawić w postaci układu dynamicznego

(6)

$ \dot x=F=y, \qquad \dot y=G=\phi(x). $

Uwaga 1:

Układ postaci ( 6 ) w literaturze fizycznej często nazywają układem o jednym stopniu swobody.

Lemat 2:

Układ ( 6 ) jest układem hamiltonowskim.

Dowód Rozpatrzmy układ równań

$ \frac{\partial\,H}{\partial\,y}=y, \qquad -\frac{\partial\,H}{\partial\,x}=\phi(x). $

Całkując względem zmiennej $ y $ pierwsze równanie otrzymamy funkcję

(7)

$ H(x,\,y)=\frac{y^2}{2}+V(x), $

gdzie nieznana funkcja $ V(x) $ pełni rolę stałej całkowania. Podstawiając ten wynik do drugiego równania, otrzymamy

$ \dot V(x)=-\phi(x). $

Zatem nieznaną funkcję można przedstawić w postaci

$ V(x)=-\int_0^x\phi(\xi)\,d\,\xi + C_1. $

Jak widać ze wzoru ( 2 ), dodanie do funkcji Hamiltona stałej adytywnej nie wpływa na postać funkcji $ F(x,\,y) $ oraz $ G(x,\,y) $. Dlatego, bez straty ogólności, możemy przyjąć, że $ C_1=0. $

Uwaga 2:

Człon $ y^2/2 $ we wzorze ( 7 ) nazywa się energią kinetyczną, natomiast funkcja $ V(x) $-energią potencjalną pola sił.

Własności ogólne układu o jednym stopniu swobody

1. Wszystkie punkty stacjonarne (zob. moduł Układy dynamiczne. Klasyfikacja punktów stacjonarnych na płaszczyźnie ) układu ( 6 ) znajdują się na osi $ OX $. Współrzędna $ x_0 $ punktu stacjonarnego spełnia równanie $ \phi(x_0)=0 $.

2. Każdą trajektorię fazową układu ( 6 ) można przedstawić w płaszczyźnie fazowej $ (x,\,y) $ w postaci poziomicy funkcji $ H(x,\,y) $;

$ H(x,\,y)=\frac{y^2}{2}+V(x)=C $

przy pewnej stałej $ C $.

3. Funkcja Hamiltona układu ( 6 ) nie zmienia się pod działaniem transformacji $ \bar y=-y $.
Własność ta wynika bezpośrednio ze wzoru ( 7 ).

Wniosek 1:

Krzywe fazowe układu ( 6 ) są symetryczne względem odbić od osi poziomej $ OX $.

4. Trajektorie fazowe przecinają oś $ OX $ pod kątem prostym, wszędzie za wyjątkiem, ewentualnie, punktów stacjonarnych.

Dowód. Z ( 6 ) wynika równość

$ \frac{d\,y}{d\,x}=\frac{\phi(x)}{y}. $

Prawa strona tej równości dąży do $ \pm\infty, $ gdy $ y $ dąży do zera, chyba że $ \phi(x)=0 $ (czyli $ x $ jest punktem stacjonarnym). Ponieważ $ \frac{d\,y}{d\,x} $ pokrywa się z tangensem kąta stycznej do trajektorii, więc w miarę zbliżania się do punktu $ (x,\,0) $ kąt ten dąży do $ \pm \pi/2 $.

5. Następująca własność jest bardzo przydatna z punktu widzenia konstrukcji portretów fazowych. Z tego, że hamiltonian przybiera stałą wartość na rozwiązaniach układu dynamicznego, wynika równość

$ \frac{y^2}{2}=H_0-V(x), \qquad H_0=const. $

Ponieważ człon po lewej stronie (energia kinetyczna) nie może być ujemny, więc trajektoria nie może mieć współrzędnej $ x, $ której odpowiada wartość funkcji $ V(x)\,\gt\,H_0 $. Dlatego jeśli założymy, na przykład, że $ V(x) $ monotonicznie rośnie, to wówczas dla danej trajektorii istnieje maksymalna wartość $ x_{M} $ współrzędnej $ x $, określonej jako współrzędna przecięcia się wykresów odpowiednich funkcji, zob. Rys. 1.

$Wykres energii potencjalnej $V(x)$ z zaznaczoną maksymalną wartością $x_M$, którą może przybierać współrzędna $x$ rozwiązania cechującego się energią całkowitą $H_0$$

Rysunek 1: Wykres energii potencjalnej $V(x)$ z zaznaczoną maksymalną wartością $x_M$, którą może przybierać współrzędna $x$ rozwiązania cechującego się energią całkowitą $H_0$

Z własności ( 3 ), ( 4 ), z kolei, wynika, że w punkcie $ x_M $ trajektoria fazowa doznaje odbicia, zob. Rys. 2

$Fragment trajektorii fazowej doznającej odbicia w punkcie $x_M$, w którym energia potencjalna $V(x)$ osiąga wartość energii całkowitej $H_0$$

Rysunek 2: Fragment trajektorii fazowej doznającej odbicia w punkcie $x_M$, w którym energia potencjalna $V(x)$ osiąga wartość energii całkowitej $H_0$

6. Współrzędna $ x $ punktu stacjonarnego odpowiada ekstremum funkcji $ V(x) $. Punkt stacjonarny $ (x_0,\,0) $ jest środkiem, jeżeli $ V $ ma w $ x_0 $ minimum lokalne; punkt stacjonarny $ (x_1,\,0) $ jest siodłem, jeżeli w $ V(x_1) $ ma w $ x_1 $ maksimum lokalne.
Dowód. Jeżeli $ x_\nu $ jest punktem stacjonarnym, to $ \phi(x_\nu)=0 $. Stąd $ V'(x_\nu)=-\phi(x_\nu)=0 $, a zatem punkt $ x_\nu $ jest podejrzany o to, że jest on punktem ekstremalnym dla funkcji $ V(x) $. Licząc dalej macierz linaryzacji układu w punkcie $ x_\nu , $ otrzymamy:

$ M|_{x=x_\nu}=\left[ \begin{array}{ll} 0, & 1 \\ -V^{\prime\prime}(x_\nu), & 0 \end{array} \right]. $

Jak wiadomo, charakter punktu stacjonarnego zależy od wartości własnych macierzy linearyzacji. Obliczamy więc warości własne macierzy $ M|_{x=x_\nu}: $

(8)

$ \det \left[M_{x=x_\nu}-\lambda\,I\right]=\lambda^2+V^{\prime\prime}(x_\nu)=0, \quad \Longrightarrow \lambda=\pm \sqrt{-V^{\prime\prime}(x_\nu)} . $

Zatem

jeżeli w $ x_\nu $ jest minimum lokalne, wówczas $ V^{\prime\prime}(x_\nu)\,\gt\,0 $,

$ \lambda=\pm i \sqrt{|V^{\prime\prime}(x_\nu)|} $

i punkt $ (x_\nu,\,0) $ jest środkiem;

jeżeli w $ x_\nu $ jest maksimum lokalne, wówczas $ V^{\prime\prime}(x_\nu)\,\lt\,0 $,

$ \lambda=\pm \sqrt{|V^{\prime\prime}(x_\nu)|} $

i punkt $ (x_\nu,\,0) $ jest siodłem.

Uwaga 3:

Wykorzystując to, że układ jest hamiltonowski, można pokazać że środek zachowuje swój charakter przy dodaniu członów nieliniowych.

$U góry: jama potencjalna oraz poziomice funkcji $V(x)$; u dołu: trajektorie fazowe w płaszczyźnie $ (x,y)$ odpowiadające tym poziomicom$

Rysunek 3: U góry: jama potencjalna oraz poziomice funkcji $V(x)$; u dołu: trajektorie fazowe w płaszczyźnie $ (x,y)$ odpowiadające tym poziomicom

7. Trajektoria odpowiadająca poziomicy $ H=H_0 $, przecinającej jamę potencjalną (zob. Rys. 3, góra) jest trajektorią zamkniętą (zob. Rys. 3, dół), reprezentującą rozwiązanie okresowe.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka